La carriera
Per dedicarsi alla sua carriera da musicista, alla fine degli anni Novanta si trasferisce da Ascoli Piceno a Milano. Qui, su invito di Saturnino Celani - bassista di Jovanotti e suo amico d'infanzia - decide di raccogliere in un CD tutta la propria produzione pianistica. Sarà proprio Jovanotti a decidere di pubblicare, con la sua etichetta Soleluna, il suo primo album per pianoforte, dal titolo "13 dita", prodotto dallo stesso Saturnino. Con loro Allevi continuerà a collaborare anche successivamente, aprendo i concerti del tour "L'Albero" e realizzando la colonna sonora del cortometraggio "Venceremos" di Giovanni Stefano Ghidini e Sergio Pappalettera, storici collaboratori di Jovanotti, presentato al Sundance Film Festival negli Stati Uniti. Nel 2002 partecipa alla realizzazione dell'album di Jovanotti "Lorenzo 2002 - Il quinto mondo", sia come coautore di alcuni brani che suonando il pianoforte e le tastiere in alcune canzoni. Nello stesso anno il cantante lo invita nuovamente a partecipare come pianista al tour "Il quinto mondo", per il quale curerà anche gli arrangiamenti della band. All'interno dello spettacolo, Allevi esegue in anteprima il suo brano "Piano Karate". Dopo il tour, il musicista promuove "La favola che vuoi", opera dal vivo che lo porterà nel 2003 alla pubblicazione del suo secondo album per pianoforte solista, intitolato "Composizioni". L'anno successivo inizia un tour internazionale dal palco dell'HKAPA Concert Hall di Hong Kong, oltre ad insegnare Educazione Musicale in una scuola media statale di Milano. Insieme ad altri gruppi italiani, nel 2005 si esibisce sul palco del Blue Note di New York, in un concerto organizzato con l'Istituto italiano di cultura, all'interno della rassegna "Jazz italiano a New York". Negli Stati Uniti terrà anche un seminario su "Il rapporto tra musica e filosofia" alla School of Philosophy di New York, per poi tornare in Europa e partecipare ad un altro seminario, questa volta nella Facoltà di Pedagogia di Stoccarda, dal titolo "La musica dei nostri giorni". Nel frattempo il Baltimora Opera House gli commissiona la rielaborazione dei recitativi della "Carmen" di Bizet, prima di esibirsi nel 2005 al Teatro Politeama di Palermo, in una première della sua prima opera per pianoforte e orchestra, "Foglie di Beslan", con i 92 elementi dell'Orchestra Sinfonica Siciliana, la stessa che gli ha commissionato la composizione.
Il 16 maggio del 2005 pubblica il suo terzo album per pianoforte solo, intitolato "No concept", presentato anche in Cina e a New York. Proprio da questo album verrà estratto il brano "Come sei veramente", scelto dal regista statunitense Spike Lee come colonna sonora per uno spot pubblicitario della BMW. Il quarto album arriverà solamente un anno dopo, il 29 settembre 2006. Intitolato "Joy", l'album otterrà il disco d'oro un anno dopo. Nello stesso periodo Giovanni Allevi affianca anche Luciano Ligabue in molte date del suo tour acustico nei teatri, oltre ad accompagnare al pianoforte Simone Cristicchi nel brano "Lettera da Volterra", presente nell'album "Dall'altra parte del cancello". Nello stesso anno il suo brano "Back to life" viene scelto come colonna sonora per lo spot della nuova Fiat 500. Sempre nel 2007 Allevi scrive l'Inno alle Marche, presentato a settembre in occasione della visita di Papa Benedetto XVI a Loreto all'Incontro nazionale dei giovani, e pubblica "Allevilive", un doppio CD contenente 26 brani tratti dai suoi 4 dischi precedenti più "Aria", un brano inedito. Nel 2008 esce il suo quinto album, per pianoforte e orchestra, dal titolo "Evolution". Per la prima volta Allevi non è solo a suonare, ma è accompagnato da un'orchestra sinfonica. Il 21 dicembre 2008 tiene il concerto di Natale presso l'aula del Senato della Repubblica Italiana, dirigendo l'orchestra sinfonica de "I virtuosi italiani". Oltre alle proprie composizioni, esegue anche musiche del maestro Puccini in ricordo del 150º anniversario della nascita. Nel 2009 suona il pianoforte nell'ultimo disco di Claudio Baglioni, "Q.P.G.A.", nella canzone "Fiumicino". Un anno dopo esce il suo sesto album, per pianoforte solo, dal titolo "Alien", a cui seguirà l'Alien Tour 2011. Il 30 ottobre 2012 viene pubblicato anche "Sunrise", il suo settimo album. Dopo le composizioni per pianoforte solo del precedente album "Alien", Allevi ritorna alle composizioni per orchestra, eseguite dall'Orchestra sinfonica del teatro Carlo Felice di Genova. Nel concerto per violino e orchestra la parte solistica è affidata al virtuoso polacco Mariusz Patyra. Il 13 febbraio 2015 è ospite durante la quarta serata del Festival di Sanremo condotto da Carlo Conti, esibendosi con "Loving You". Sempre nel 2015 compone il nuovo Inno della Serie A, "O generosa", diffuso negli stadi all'inizio di ogni partita. Risale a questo anno anche il suo album "Love", a cui faranno poi seguito "Equilibrium" (2017), "Hope" (2019) ed "Estasi" (2021).